driehoeksmeting

Eigenschappen

Voorkeurslabeldriehoeksmeting
DefinitieEen driehoeksmeting of triangulatie is een meetmethode die gebruikmaakt van het feit dat een driehoek volledig bepaald is als één zijde (de basis) en de aanliggende hoeken bekend zijn.
Synoniemdriehoeksmetingen, triangulatie, triangulaties
Toelichting op definitieDe methode werd voor het eerst beschreven door de Nederlandse wiskundige Gemma Frisius (1508-1555). De cartograaf Jacob van Deventer (1505-1575) was de eerste die het in de praktijk omzette. Bij de driehoeksmeting wordt gebruikgemaakt van formules uit de goniometrie, met name de sinusregel.

In de landmeetkunde wordt de term driehoeksmeting vooral gebruikt voor het meten van een netwerk van vele driehoeken waarbij zo veel mogelijk hoeken gemeten worden en slechts één (of enkele) lengte van een driehoekszijde. De eerste die deze techniek beschreef en in praktijk bracht was Snellius (Willebrord Snel van Royen, 1580–1626). De methode werd in de 19e eeuw verfijnd door Carl Friedrich Gauss die een overbepaald stelsel van waarnemingsvergelijkingen met de kleinste-kwadratenmethode oploste.


Triangulatie wordt als term ook gebruikt voor het verdelen van een veelvlak of een ander oppervlak in meerdere driehoeken. Dit principe wordt bijzonder veel gebruikt in de grafische industrie en geo-informatie om 3D modellen op een computer eenvoudig te kunnen verwerken voor computerspelletjes, animatiefilms en geografische informatiesystemen.

Basisprincipe

De triangulatiemethode maakt gebruik van de wiskundige eigenschap van een driehoek dat haar vorm vastgesteld kan worden zonder dat al haar kenmerken bekend zijn. Een driehoek heeft 3 zijden (Z) en 3 hoeken (H), in totaal 6 kenmerken. Met drie van de zes kenmerken kan de driehoek al bepaald worden. Bijvoorbeeld: indien twee zijden ervan bekend zijn en de tussenliggende hoek (combinatie ZHZ), kan de rest uitgerekend worden. Er bestaan vijf combinaties waarvoor dit principe opgaat, alsmede één uitzondering: met de combinatie van 3 hoeken (HHH) is de schaal niet te bepalen.

Driehoeksmeting in een enkele driehoek: combinatie HZH​

Dit voorbeeld betreft een boot die wordt waargenomen vanaf twee punten op het strand. De onderlinge afstand b is bekend, of kan worden berekend, en zij vormt de basis van een driehoek met de boot als derde punt. De waarnemers in A en C meten elk de hoek die de zichtlijn naar de boot maakt met de basislijn. Met deze drie gegevens kan de positie van de boot in de driehoek worden berekend. De waarnemers kunnen nu ook de lengtes van de twee andere zijden uitrekenen en dus de afstand van elk punt tot de boot.

Dit wordt (in)snijding genoemd. Insnijding kan op twee manieren: Voorwaartse insnijding: Wanneer men beschikt over de positie (coördinaten) van twee bekende punten en men meet de richting van een nieuw punt vanuit die bekende posities, is de positie van het nieuwe punt uit te rekenen. Achterwaartse insnijding: Wanneer men beschikt over de coördinaten van ten minste drie punten, dan kan men met behulp van hoekmetingen vanuit het nieuw te bepalen punt naar de bekende punten, de positie bepalen, mits de drie punten en het te bepalen punt niet op één cirkel liggen.

Corrigeren voor hoogte: combinaties HZH en HHZ​

Hoogtemeting met driehoeken Bovenstaande metingen werken perfect - in een plat vlak. Zelfs in een relatief plat land als Nederland worden soms meetpunten dicht bij de bodem gekoppeld aan kerktorens, zodat voor hoogteverschillen gecompenseerd moet worden om afstanden in een rechte lijn te kunnen berekenen. De hoogte van waargenomen punten kan eveneens met driehoeksmeting worden vastgesteld, met behulp van de combinatie van kenmerken HHZ: één bekende zijde, een aanliggende hoek en de tegenoverliggende hoek.

In nevenstaande afbeelding wordt allereerst een HZH-driehoek opgemeten (blauw), waarbij de ononderbroken lijn de basislijn is, zij het dat dit een verticale meting is en niet een horizontale zoals in bovenstaande voorbeelden. Van de rechter stippellijn is nu de lengte bekend en wordt haar hoek gemeten met de denkbeeldige voortzetting van de basislijn. Deze maakt een rechte hoek (90°) met de verticale lijn h, zodat de benodigde drie kenmerken aanwezig zijn om de omtrek te berekenen, waaronder de gewenste lijn h, de hoogte.

Hierbij moet worden aangetekend dat op de afbeelding de gemeten basislijn geacht wordt zich horizontaal (waterpas) en op zeeniveau te bevinden. De omstandigheden in het veld zijn doorgaans niet zo ideaal, hetgeen steeds complexere berekeningen vereist.

Rijksdriehoeksmeting​

Met behulp van driehoeksmeting zijn de coördinaten van de originele punten van het Nederlandse stelsel van rijksdriehoeksmeting (RD) bepaald. Op deze wijze zijn veel landen voor het eerst opgemeten. Vanwege hun zichtbaarheid werden in Nederland vooral kerktorens gebruikt als referentiepunten bij de driehoeksmetingen in plaats van heuveltoppen. Deze punten vervullen de rol van hoekpunt in een of meerdere driehoeken. De eerste landsdekkende driehoeksmeting in Nederland maakte gebruik van een basis in Duitsland in de buurt van Bonn, de meting Ubachsberg-Klifsberg (gemeente Herkenbosch) vormde de aansluiting met de rest van Nederland. In 1913 is in Stroe een basis gemeten ter controle van het doorgerekende driehoeksnet en de gemeten afwijking bleek verwaarloosbaar.
Exacte overeenkomsthttps://nl.wikipedia.org/wiki/Driehoeksmeting
Afbeelding vanSnellius_baseline_r.png

Basisvergotingsnet van Snellius. De rode lijn t-c wordt handmatig gemeten. Daarvan wordt met driehoeken de lengte van de loodrechte hulplijn a-e bepaald. Die wordt weer als basislijn gebruikt voor het berekenen van driehoeken tot aan Leiden en Zoeterwoude. Zo kan de totale afstand berekend worden, terwijl maar een fractie daadwerkelijk gemeten is.
200px-Triangulation.png
Driehoeksmeting.


Relaties

VertrekpuntRelatieEindpunten
driehoeksmetingBreder
driehoeksmetingBron van
driehoeksmetingGerelateerd

Afgeleide relaties

VertrekpuntRelatieEindpunt
true orthofoto (Begrip)Gerelateerddriehoeksmeting
Rdf.jpg



200px-Triangulation_scheme.svg.png
Triangulatienetwerk.

200px-Mountain_height_by_triangulation.svg.png
Hoogtemeting met driehoeken.